例1：人口增长指数
英国经济学家马尔萨斯根据一百多年的人口统计资料，1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口指数增长模型。他的基本假设是：人口在自然增长的过程中，单位时间内人口的增长量与人口成正比
指数增长模型
单位时间内人口的增长量：
与人口成正比
令△t→0，得dy/dt=ky
解：分离变量得dy/dt=kdt，两边积分有∫dy/y=kt
ln|y|=kt+lnC 记任意常数为lnC，
两边转化为指数函数e^ln|y|=e^kt+lnC=e^kt*e^lnC
|y|=Ce^kt或y=±Ce^kt 故y=C1e^kt
一、可分离变量的微分方程
一般地形如：dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量的方程.
f(x),g(x)分别是变量x，y的已知连续函数。
求解步骤：第一步：分离变量 dy/g（y）=f(x)dx
第二步：两边积分 ∫dy/g（y）=∫f（x）dx
例2：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1) y'=2xy 是 （2）3x^2+5x-y'=0 是 （3）（x^2+y^2）dx-xydy=0 不是
（4）y'=1+x+y^2+xy^2 y'=(1+x)(1+y^2) 是 （5）y'=10^x+y 10^-ydy=10^xdx 是
（6）y'=x/y+y/x 不是
例3：求微分方程dy/dx=2xy的通解.
解：分离变量得 1/y dy=2xdx
两边积分得 ∫1/y dy=∫2xdx
即ln|y|=x^2+lnC
因为x^2=lne^2
所给方程的通解 y=Ce^x^2
二、齐次微分方程
一阶微分方程的一般形式：
一阶微分方程
如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f（x,y）可写成y/x的函数，即f(x,y)=φ（y/x）,则称此方程为齐次方程.
拓展：齐次函数
如果函数f(x,y)满足f（tx，ty）=t^n f(x,y)
例4：f（x,y）=3y^2+3x^2-5xy 齐次函数
如果M（x,y）,N(x,y)是同齐次函数
则M（x,y）dx+N(x,y)dy=0是齐次微分方程
例如:(x^2+y^2)dx+2xydy=0 dy/dx=-(x^2+y^2)/2xy=-[1+(y/x)^2]/2(y/x)
例5：1.（x^2+y^2）dx-xydy=0 dy/dx=(x^2+y^2)/xy→dy/dx=x/y+y/x,是.
2.（2x+y-4）dx+(x+y-1)dy=0 dy/dx=-(2x+y-4)/x+y-1,不是.
齐次微分方程的解法：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例6
求微分方程（x+y）dx+xdy的通解
解：方程可改写dy/dx=-(x+y)/x=-1-y/x
设u=y/x,y=ux,则dy/dx=x*du/dx代入方程，得x*du/dx+u=-1-u
分离变量得 du/-1-2u=dx/x
积分，得 ∫du/1+2u=-∫dx/x
1/2ln|1+2u|=-ln|x|+1/2ln|C|
1+2u=c/x^2
变量还原，得 x^2+2xy=C
