可以开罚单的单位和组织包括：
具有法定行政处罚权的行政机关
各级人民政府及其公安、工商、税务、土地、审计、卫生等部门。
国务院或者省、自治区、直辖市人民政府可以决定一个行政机关行使有关行政机关的行政处罚权。
法律、法规授权的具有管理公共事务职能的组织
工商所、税务所、公安派出所等行政机关的派出机构，它们依据相应法律、法规享有一定的行政处罚权。
受行政机关委托行使一定行政处罚权的受托组织
例如，公安机关可以委托乡（镇）人民政府对违反治安管理行为处以警告、五十元以下罚款。
城管执法部门可以行使交通管理方面侵占城市道路、人行道违法停放车辆的行政处罚权。
总结来说，可以开罚单的单位和组织主要分为具有法定行政处罚权的行政机关、法律、法规授权的具有管理公共事务职能的组织以及受行政机关委托行使一定行政处罚权的受托组织。这些单位和组织必须在法律、法规或规章规定的范围内行使行政处罚权。
